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Límite De Una Sucesión Infinita

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Eyelash mite, SEM Stock Image Z445/0308 Science Photo Library
Eyelash mite, SEM Stock Image Z445/0308 Science Photo Library from www.sciencephoto.com

En matemáticas, una sucesión es una lista ordenada de números. La sucesión puede tener un número finito o infinito de elementos. El límite de una sucesión es el número al que se acercan los términos de la sucesión a medida que se acercan al infinito. En este artículo, hablaremos sobre el límite de una sucesión infinita y cómo calcularlo.

Definición del límite de una sucesión infinita

El límite de una sucesión infinita se define como el número al que se acercan los términos de la sucesión a medida que el número de términos de la sucesión aumenta indefinidamente. Formalmente, se dice que una sucesión a_n tiene límite L si, para cualquier número positivo ε, existe un número entero N tal que si n es mayor que N, entonces |a_n - L| es menor que ε.

Ejemplo de cálculo del límite de una sucesión infinita

Supongamos que tenemos la siguiente sucesión:

a_n = (n + 1) / n

Para calcular el límite de esta sucesión, podemos hacer lo siguiente:

  • Dividir tanto el numerador como el denominador de cada término de la sucesión por n:

    • a_n = (1 + 1/n) / 1

  • Tomar el límite de la sucesión cuando n tiende a infinito:

    • lim a_n = lim (1 + 1/n) / 1 = 1

    Por lo tanto, el límite de la sucesión es 1.

    Propiedades del límite de una sucesión infinita

    El límite de una sucesión infinita tiene varias propiedades útiles que se pueden utilizar para calcular el límite de una sucesión más fácilmente. Algunas de estas propiedades incluyen:

  • La suma de dos sucesiones con límites finitos es una sucesión con límite finito igual a la suma de los límites de cada sucesión.
  • El producto de dos sucesiones con límites finitos es una sucesión con límite finito igual al producto de los límites de cada sucesión.
  • El límite de una sucesión constante es la constante.
  • El límite de una sucesión monótona y acotada es finito.

    • Conclusión

    En resumen, el límite de una sucesión infinita es el número al que se acercan los términos de la sucesión a medida que se acercan al infinito. Se puede calcular utilizando la definición formal o utilizando propiedades útiles del límite de una sucesión. Comprender el límite de una sucesión infinita es importante en muchas áreas de las matemáticas, incluyendo el cálculo y el análisis real.

    ¡A seguir practicando!

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